关于内接和外接三角形面积的两个一般极值

作者按：近日整理书架，翻出一本我自己高中时写的数学手稿，其中有一篇讨论了内接和外接三角形的极值问题，经过繁冗的计算，几乎穷尽了我当时掌握的三角变 换技巧，得到了一些简洁优美的一般性结论。我就把这篇手稿用 Emacs org-mode 打了出来，发在这里。本页面是 org-mode 文件转换成 HTML 的结果。

文 给出了 $\triangle{ABC}$ 内接正三角性的最小面积： $$\begin{align*} \dfrac{2\sqrt{3}\Delta^2}{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\Delta} \tag{1} \end{align*}$$

文 得到了 $\triangle{ABC}$ 外接正三角性的最大面积： $$\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{6}(a^2+b^2+c^2) + 2\Delta \tag{2} \end{align*}$$

本文将给出两个一般性结论。

约定：为方便简洁起见，我们约定不带上下标的求和与求积符号表示循环运算，例如

$$\begin{align*} & \prod\sin\alpha = \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma \\ & \sum{a^2\cot\alpha} = a^2\cot\alpha + b^2\cot\beta + c^2\cot\gamma \end{align*}$$

命题 $1$ : 给定形状的锐角三角形 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 内接于给定形状和大小的锐角三角形 $\triangle{ABC}$, $A_1$ 在 $BC$ 上, $B_1$ 在 $CA$ 上，$C_1$ 在 $AB$ 上， 若 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 三内角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$, $\triangle{ABC}$ 面积为 $\Delta$, 则 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 的最小面积 $$\begin{align*} \Delta_{min} = \dfrac{2\Delta^2}{4\Delta+ \sum{a^2\cot{\alpha}}} \tag{3} \end{align*}$$

证明：

不妨如图1所设，记 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 中 $A_1, B_1, C_1$ 所对边分别为 $a_1, b_1, c_1$, $\triangle{A_1B_1C_1} = \Delta_1$, $AC_1=p$, $BC_1=q$. 再设 $\angle AC_1B_1=\theta$. 分别对 $\triangle{A_1B_1C_1}$, $\triangle{AB_1C_1}$, $\triangle{BA_1C_1}$, $\triangle{ABC}$ 用正弦定理，有

$$\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{a_1}{\sin\alpha} = \dfrac{b_1}{\sin\beta} \\ \dfrac{a_1 }{\sin A} = \dfrac{p}{\sin(A + \theta)} \\ \dfrac{b_1 }{\sin B} = \dfrac{q}{\sin(\theta + \gamma - B)} \\ \dfrac{p + q}{\sin C} = 2R \tag{4} \end{cases} \end{equation*}$$

其中 $R$ 为 $\triangle{ABC}$ 外接圆半径.

从以上 $4$ 式中解出 $$\begin{align*} a_1 = \dfrac{2R\sin\alpha\sin A\sin B\sin C}{\sin\alpha\sin B\sin(A+\theta) + \sin\beta\sin A\sin(\gamma + \theta - B)} \end{align*}$$

整理得

$$\begin{align*} a_1 = \dfrac{2R\sin\alpha\prod\sin A}{[\sin\alpha\sin B\cos A + \sin\beta\sin A\cos(\gamma-B)]\sin\theta + [\sin\alpha\sin B\sin A+\sin\beta\sin A\sin(\gamma-B)]\cos\theta} \end{align*}$$

对上式分母使用柯西不等式，有

$$\begin{align*} a_1 \geq & \dfrac{2R\sin\alpha\prod\sin A}{\sqrt{[\sin\alpha\sin B\cos A + \sin\beta\sin A\cos(\gamma-B)]^2 + [\sin\alpha\sin B\sin A+\sin\beta\sin A\sin(\gamma-B)]^2} \cdot \sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta}} \\ =& \dfrac{2R\sin\alpha\prod\sin A}{\sqrt{\sin^2\alpha\sin^2 B + \sin^2\beta\sin^2 A - 2\sin\alpha\sin B\sin A\sin B[\cos A\cos(\gamma-B)+\sin A\sin(\gamma-B)]}} \\ =& \dfrac{2R\sin\alpha\prod\sin A}{\sqrt{\sin^2\alpha\sin^2 B + \sin^2\beta\sin^2 A - 2\sin\alpha\sin B\sin A\sin B\cos(C+\gamma)}} \\ =& \dfrac{4R^2\sin\alpha\prod\sin A}{\sqrt{b^2\sin^2\alpha + a^2\sin^2\beta + 2ab\sin C\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma - 2ab\cos C\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}} \\ =& \dfrac{2\Delta\sin\alpha}{\sqrt{b^2\sin^2\alpha + a^2\sin^2\beta - (a^2+b^2-c^2)\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma + 4\Delta\prod\sin\alpha}} \\ =& \dfrac{2\Delta\sin\alpha}{\sqrt{a^2(\sin^2\beta-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma) + b^2(\sin^2\alpha-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma) + c^2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma + 4\Delta\prod\sin\alpha}} \tag{7} \\ \end{align*}$$

等号成立的条件是 $$\begin{align*} \dfrac{\sin\alpha\sin B\cos A + \sin\beta\sin A\cos(\gamma-B)}{\sin\alpha\sin B\sin A+\sin\beta\sin A\sin(\gamma-B)} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \tag{8} \end{align*}$$

也即

$$\begin{align*} \tan\theta &= \dfrac{\sin\alpha\sin B\cos A + \sin\beta\sin A\cos(\gamma-B)}{\sin\alpha\sin B\sin A+\sin\beta\sin A\sin(\gamma-B)} \\ &= \dfrac{\sin\alpha\sin B\cos A + \sin\beta\sin A\cos(\gamma-B)}{\sin\alpha\sin B+\sin\beta(\sin\gamma\cos B-\cos\gamma\sin B)} \cdot \dfrac{1}{\sin A} \\ &= \dfrac{\sin\alpha\sin B\cos A + \sin\beta\sin A\cos(\gamma-B)}{(\sin\alpha-\sin\beta\cos\gamma)\sin B+\sin\beta\sin\gamma\cos B} \cdot \dfrac{1}{\sin A} \\ &= \dfrac{\sin\alpha\sin B\cos A + \sin\beta\sin A\cos(\gamma-B)}{(\sin(\beta+\gamma)-\sin\beta\cos\gamma)\sin B+\sin\beta\sin\gamma\cos B} \cdot \dfrac{1}{\sin A} \\ &= \dfrac{\sin\alpha\sin B\cos A + \sin\beta\sin A\cos(\gamma-B)}{\cos\beta\sin\gamma\sin B+\sin\beta\sin\gamma\cos B} \cdot \dfrac{1}{\sin A} \tag{9} \\ \end{align*}$$

整理得

$$\begin{align*} \tan{\theta} &= \dfrac{\sin{\alpha}\sin{B}\cos{A} + \sin{\beta}\sin{A}\cos{(\gamma-B)}}{\sin{\gamma}\sin{A}\sin{(\beta + B)}} \tag{10} \\ \end{align*}$$

因为 $\Delta ABC$, $\Delta A_1B_1C_1$ 均为锐角三角形, 显然 $(9)$ 式右边分子分母均大于 $0$, 所以我们总是能取到合适的 $\theta$ 满足 $(8)$ 式，从而使得 $(7)$ 式等号成立。注意到 $$\begin{align*} \sin^2{\alpha} - \sin{\alpha}\sin{\beta}\cos{\gamma} = \sin{\alpha}[\sin{(\beta+\gamma)} - \sin{\beta}\cos{\gamma}] &= \sin{\alpha}\sin{\gamma}\cos{\beta} \\ \sin^2{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}\cos{\gamma} = \sin{\beta}[\sin{(\alpha+\gamma)} - \sin{\alpha}\cos{\gamma}] &= \sin{\beta}\sin{\gamma}\cos{\alpha} \end{align*}$$

分别代入 $(7)$ 式，得

$$\begin{align*} a_1 \geq & \dfrac{2\Delta\sin\alpha}{\sqrt{a^2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha + b^2\sin\alpha\sin\gamma\cos\beta + c^2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma + 4\Delta\prod\sin\alpha}} \\ = & \dfrac{2\Delta\sin\alpha}{\sqrt{\sum{a^2\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma} + 4\Delta\prod\sin\alpha}} \\ \end{align*}$$

从而

$$\begin{align*} \Delta_1 &= 2R^2\prod\sin\alpha \quad\quad(三角形面积公式)\\ &= 2(\dfrac{a_1}{2\sin\alpha})^2\prod\sin\alpha \quad\quad (正弦定理)\\ &\geq 2\dfrac{\Delta^2}{\sum{a^2\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma} + 4\Delta\prod\sin\alpha}\prod\sin\alpha \\ &= \dfrac{2\Delta^2}{\sum{a^2\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma} + 4\Delta\prod\sin\alpha}\prod\sin\alpha \\ &= \dfrac{2\Delta^2}{\sum{a^2\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\prod\sin\alpha} + 4\Delta\prod\sin\alpha}\prod\sin\alpha \\ &= \dfrac{2\Delta^2}{4\Delta + \sum{a^2\cot\alpha}} \\ \end{align*}$$

至此命题 $1$ 得证。

如果允许 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 通过旋转和翻转内接在 $\triangle{ABC}$ 上，我们总是可以选择一种恰当的内接方式，使得循环和 $\sum{a^2\cot{\alpha}}$ 取到最大，从而使 $\Delta_1$ 最小。根据排序不等式，要让 $\sum{a^2\cot{\alpha}}$ 取到最大, 不妨设 $a \leq b \leq c$, 那么需要有 $\cot{\alpha} \leq \cot{\beta} \leq \cot{\gamma}$, 因为 $\cot{x}$ 在 $(0, \dfrac{\pi}{2})$ 上是单调减函数，也即 $\alpha \geq \beta \geq \gamma$. 于是我们得到：

推论 $1$ : 给定形状的锐角三角形 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 内接于给定形状和大小的锐角三角形 $\triangle{ABC}$, 如果允许旋转和翻转 $\triangle{A_1B_1C_1}$,当且仅当 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 的最大内角接在 $\triangle{ABC}$ 的最短边上，最小内角接在最长 边上时， $\triangle{A_1B_1C_1}$ 有最小面积。记 $\triangle{ABC}$ 面积为 $\Delta$, 三边长分别为 $a$, $b$, $c$, 且 $a \leq b \leq c$, $\triangle{A_1B_1C_1}$ 三内角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$, 且 $\alpha \geq \beta \geq \gamma$, , 则 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 的最小面积 $$\begin{align*} \Delta_{min} = \dfrac{2\Delta^2}{4\Delta+ \sum{a^2\cot{\alpha}}} \tag{11} \end{align*}$$

关于这个结论的现实意义，可以想象我们从一块木板上锯下一个给定形状的三角形，要求此三角形的三个顶点都在木板的边上，如何使得锯下来的三角形面积最小。

取 $\alpha = \beta = \gamma = \dfrac{\pi}{3}$, 代入 $(3)$ 式，得

$$\begin{align*} \Delta_{min} &= \dfrac{2\Delta^2}{4\Delta+ \sum{a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}} \\ &= \dfrac{2\sqrt{3}\Delta^2}{4\sqrt{3}\Delta+ \sum{a^2}} \end{align*}$$

此即 $(1)$ 式。于是我们自然得到:

推论 $2$: $\triangle{ABC}$ 内接正三角性的最小面积

$$\begin{align*} \Delta_{min} &= \dfrac{2\sqrt{3}\Delta^2}{4\sqrt{3}\Delta+ \sum{a^2}} \end{align*}$$

如果我们在 $(3)$ 式中取 $\alpha = A$, $\beta = B$, $\gamma = C$, 那么

$$\begin{align*} \sum{a^2\cot{\alpha}} &= \sum{a^2\cot{A}} \\ &= \sum{a^2\dfrac{\cos{A}}{\sin{A}}} \\ &= \sum(\frac{1}{2}\dfrac{a^2}{\sin^2 A}2\sin A\cos A) \\ &= \sum(\frac{1}{2} \cdot 4R^2 \sin{2A}) \\ &= 2R^2\sum\sin{2A} \tag{12} \\ \end{align*}$$

根据三角形恒等式

$$\begin{align*} \sum\sin{2A} = 4\prod\sin A \end{align*}$$

代入 $(12)$ 式, 联系三角形面积公式，有

$$\begin{align*} \sum{a^2\cot\alpha} &= 2R^2 \cdot 4\prod\sin A \\ &= 4\Delta \tag{13} \end{align*}$$ 再代入 $(3)$ 式，得

$$\begin{align*} \Delta_{min} &= \dfrac{2\Delta^2}{4\Delta+ 4\Delta} \\ &= \dfrac{\Delta}{4} \end{align*}$$

于是我们有

推论 $3$: 若三角形 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 内接于锐角三角形 $\triangle{ABC}$, 且 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 相似于 $\triangle{ABC}$, $A_1$ 在 $BC$ 上, $B_1$ 在 $CA$ 上，$C_1$ 在 $AB$ 上，则当且仅当 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 为 $\triangle{ABC}$ 的中位三角形时，$\triangle{A_1B_1C_1}$ 具有最小的面积 $\frac{1}{4}\Delta$.

命题 $2$: 给定形状的锐角三角形 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 外接于给定形状和大小的锐角三角形 $\triangle{ABC}$, $A$ 在 $B_1C_1$ 上, $B$ 在 $C_1A_1$ 上，$C$ 在 $A_1B_1$ 上， 若 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 三内角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$, $\triangle{ABC}$ 面积为 \Delta, 则 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 的最大面积 $$\begin{align*} \Delta_{max} = \dfrac{4\Delta+ \sum{a^2\cot{\alpha}}}{2} \tag{14} \end{align*}$$

证明：

如图 $2$ 所示，

$$\begin{align*} c_1 &= A_1B_1 \\ &= p + q \\ &= \dfrac{\sin(\alpha + \theta)}{\sin\alpha}a + \dfrac{\sin(C-\beta+\theta)}{\sin\beta}b \\ &= \dfrac{2R\sin A\sin\beta\sin(\alpha+\theta) + 2R\sin\alpha\sin B\sin(C-\beta+\theta)}{\sin\alpha\sin\beta} \\ &= 2R\dfrac{[\sin A\sin\beta\cos\alpha+\sin B\sin\alpha\cos(C-\beta)]\sin\theta + [\sin A\sin\beta\sin\alpha+\sin B\sin\alpha\sin(C-\beta)]\cos\theta}{\sin\alpha\sin\beta} \\ &\leq 2R\dfrac{\sqrt{[\sin A\sin\beta\cos\alpha+\sin B\sin\alpha\cos(C-\beta)]^2 + [\sin A\sin\beta\sin\alpha+\sin B\sin\alpha\sin(C-\beta)]^2}}{\sin\alpha\sin\beta} \\ &= 2R\dfrac{\sqrt{\sin^2 A\sin^2\beta + \sin^2 B\sin^2\alpha - 2\sin A\sin B\sin\alpha\sin\beta\cos(C+\gamma)}}{\sin\alpha\sin\beta} \\ &= \dfrac{\sqrt{a^2\sin^2\beta + b^2\sin^2\alpha - 2ab\sin\alpha\sin\beta\cos(C+\gamma)}}{\sin\alpha\sin\beta} \\ &= \dfrac{\sqrt{a^2\sin^2\beta + b^2\sin^2\alpha - 2ab\cos C\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma + 2ab\sin C\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}}{\sin\alpha\sin\beta} \\ &= \dfrac{\sqrt{a^2\sin^2\beta + b^2\sin^2\alpha - (a^2+b^2-c^2)\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma + 4\Delta\prod\sin\alpha}}{\sin\alpha\sin\beta} \\ &= \dfrac{\sqrt{\sum{a^2\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma} + 4\Delta\prod\sin\alpha}}{\sin\alpha\sin\beta} \\ \end{align*}$$

从而 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 的面积

$$\begin{align*} \Delta_1 &= 2R^2\prod\sin\alpha \\ &= 2(\dfrac{c_1}{2\sin\gamma})^2\prod\sin\alpha \\ &\leq \dfrac{\sum{a^2\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma} + 4\Delta\prod\sin\alpha}{2(\prod\sin\alpha)^2}\prod\sin\alpha \\ &= \dfrac{4\Delta+ \sum{a^2\cot\alpha}}{2} \tag{15} \end{align*}$$

根据柯西不等式，$(15)$ 成立的条件是

$$\begin{align*} \tan\theta &= \dfrac{\sin A\sin\beta\cos\alpha+\sin B\sin\alpha\cos(C-\beta)}{\sin A\sin\beta\sin\alpha+\sin B\sin\alpha\sin(C-\beta)} \\ &= \dfrac{\sin A\sin\beta\cos\alpha+\sin B\sin\alpha\cos(C-\beta)}{\sin A\sin\beta+\sin B(\sin C\cos\beta-\cos C\sin\beta)}\cdot\dfrac{1}{\sin\alpha} \\ &= \dfrac{\sin A\sin\beta\cos\alpha+\sin B\sin\alpha\cos(C-\beta)}{\sin(B+C)\sin\beta+\sin B\sin C\cos\beta-\sin B\cos C\sin\beta}\cdot\dfrac{1}{\sin\alpha} \\ &= \dfrac{\sin A\sin\beta\cos\alpha+\sin B\sin\alpha\cos(C-\beta)}{(\sin B\cos C+\cos B\sin C)\sin\beta+\sin B\sin C\cos\beta-\sin B\cos C\sin\beta}\cdot\dfrac{1}{\sin\alpha} \\ &= \dfrac{\sin A\sin\beta\cos\alpha+\sin B\sin\alpha\cos(C-\beta)}{\cos B\sin C\sin\beta+\sin B\sin C\cos\beta}\cdot\dfrac{1}{\sin\alpha} \\ &= \dfrac{\sin A\sin\beta\cos\alpha+\sin B\sin\alpha\cos(C-\beta)}{\sin\alpha\sin C\sin(\beta+B)} \tag{16} \\ \end{align*}$$

因为 $\triangle{A_1B_1C_1}$, $\triangle{ABC}$ 均为锐角三角形，$(16)$ 式右边恒大于零，所以我们总能取到合适的 $\theta$ 满足 $(16)$ 式，从而 $(15)$ 式等号成立。

故命题 $2$ 得证。

根据排序不等式和 $\cot{x}$ 的单调递减性，很容易得到：

推论 $4$ : 给定形状的锐角三角形 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 内接于给定形状和大小的锐角三角形 $\triangle{ABC}$, 如果允许旋转和翻转 $\triangle{A_1B_1C_1}$, 当且仅当 $\triangle{ABC}$ 的最大内角接在 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 的最短边上，最小内角接在最长 边上时， $\triangle{A_1B_1C_1}$ 有最大面积。记 $\triangle{ABC}$ 面积为 \Delta, 三边长分别为 $a$, $b$, $c$, 且 $a \leq b \leq c$, $\triangle{A_1B_1C_1}$ 三内角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$, 且 $\alpha \geq \beta \geq \gamma$, , 则 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 的最大面积

$$\begin{align*} \Delta_{max} &= \dfrac{4\Delta+ \sum{a^2\cot{\alpha}}}{2} \end{align*}$$

取 $\alpha = \beta = \gamma = \dfrac{\pi}{3}$, 代入 $(14)$ 式，得到 $(2)$ 式, 也即

推论 $5$: $\triangle{ABC}$ 外接正三角性的最大面积

$$\begin{align*} \Delta_{max} &= 2\Delta + \dfrac{\sqrt{3}}{6}\sum{a} \end{align*}$$

如果我们在 $(14)$ 式中取 $\alpha = A$, $\beta = B$, $\gamma = C$, 联系 $(13)$ 式，可以直接得到：

推论 $6$: 若三角形 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 外接于锐角三角形 $\triangle{ABC}$, 且 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 相似于 $\triangle{ABC}$, $A$ 在 $B_1C_1$ 上, $B$ 在 $C_1A_1$ 上，$C$ 在 $A_1B_1$ 上， 则当且仅当 $\triangle{ABC}$ 为 $\triangle{A_1B_1C_1}$ 的中位三角形时，$\triangle{A_1B_1C_1}$ 具有最大的面积 $4\Delta$.

如果把 $\Delta_{min}$ 和 $\Delta_{max}$ 相乘，会得到一个神奇的结果:

推论 $7$:

$$\begin{align*} \Delta_{min} \cdot \Delta_{max} = \Delta^2 \tag{17} \end{align*}$$

$(17)$ 式暗示着 $\Delta_{min}$ 和 $\Delta_{max}$ 有某种内在的联系，似乎可以通过某种反演得到彼此。但迄今为止我还没有理解为什么会这样。

总结: 在这篇文章里，我们使用了以下初等数学公式：

• 正弦定理

• 余弦定理

• 三角诱导公式

• 和差化积公式

• 二倍角公式

• 柯西不等式

• 排序不等式

• 余切函数 $\cot{x}$ 的单调性

• 三角形面积公式 $\Delta = 2R\prod{\sin{A}}$

• 三角形恒等式 $\sum{\sin{2A}} = 4\prod{\sin{A}}$

其中有一些超出了高考数学大纲，但不会超出高中数学竞赛的范畴。 如果一位高中小朋友能比较顺利地读完这篇文章，那么恭喜他/她，高考的三角函数部分应该不会对他/她构成任何挑战。

邢进喜, 三角形内接正三角形的最小面积，(J)中等数学, 2003(2)

张延卫, 三角形外接正三角形的最大面积，(J)中等数学, 2002(5)